La Historia De Los Numeros: Los Números Racionales.

Número racional es todo número que puede representarse como el cociente de dos números enteros o, más precisamente, un entero y un natural positivo,¹ es decir, una fracción común a/b con numerador a y denominador b distinto de cero. El término «racional» alude a una fracción o parte de un todo. El conjunto de los números racionales se denota por Q (o bien Q en negrita de pizarra) que deriva de «cociente» (Quotient en varios idiomas europeos). Este conjunto de números incluye a los números enteros (z), y es un subconjunto de los números reales (R).

La escritura decimal de un número racional es, o bien un número decimal finito, o bien periódico. Esto es cierto no solo para números escritos en base 10 (sistema decimal), también lo es en base binaria, hexadecimal o cualquier otra base entera. Recíprocamente, todo número que admite una expansión finita o periódica (en cualquier base entera), es un número racional.

Un número real que no es racional, se llama número irracional; la expresión decimal de los números irracionales, a diferencia de los racionales, es infinita no-periódica.

En sentido estricto, número racional es el conjunto de todas las fracciones equivalentes a una dada; de todas ellas, se toma comorepresentante canónico de dicho número racional a la fracción irreducible. Las fracciones equivalentes entre sí –número racional– son unaclase de equivalencia, resultado de la aplicación de una relación de equivalencia sobre Z.

Construcción Formal

El conjunto de los números racionales puede construirse a partir del conjunto de fracciones cuyo numerador y cuyo denominador son números enteros. El conjunto de los números racionales no es directamente identificable con el conjunto de fracciones, porque a veces un número racional puede representarse por más de una fracción por ejemplo:

$2.5 = \frac{25}{10} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$

Para poder definir los números racionales debe definirse cuando dos fracciones diferentes son equivalentes y por tanto representan el mismo número racional. Formalmente cada número racional puede representarse como la clase de equivalencia de un par ordenado de enteros, con la siguiente relación de equivalencia:

Para el conjunto de los números racionales puede escribirse:

$\begin{matrix} \mathbb{Q} \subset \mathrm{Frac}(\mathbb{Z}) = \left\{ \cfrac{p}{q}\mid p\in\mathbb{Z},q\in\mathbb{Z};q\neq0\right\} \\ \mathbb{Q} = \mathrm{IrrFrac}(\mathbb{Z}) = \left\{ \cfrac{p}{q}\mid p\in\mathbb{Z},q\in\mathbb{Z};\ q>0\ \land\ \mathrm{mcd}(|p|,q)= 1, \right\} \end{matrix}$

Y si se tienen en cuenta la relación de equivalencia anterior de hecho se tiene:

$\mathbb{Q} = \mathrm{Frac}(\mathbb{Z})/\mathcal{R}$

Aritmética de los números racionales

Representación gráfica de las fracciones cuyo divisor es 4.

Definición de suma y multiplicación

Se define la suma $\frac{a}{b}+\frac{c}{d} = \frac{ad+bc}{bd}$

Se define la multiplicación $\frac{a}{b}\times\frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}$

Relaciones de equivalencia y orden

Se define la equivalencia $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ cuando $ad = bc \,$

Los racionales positivos son todos los $\frac{a}{b}$ tales que $ab > 0 \,$

Los racionales negativos son todos los $\frac{a}{b}$ tales que $ab < 0 \,$

El orden se define así: Si b>0 y d>0 entonces $\frac{a}{b}>\frac{c}{d}$ cuando $ad - bc > 0$

Existencia de neutros e inversos

Para cualquier número racional: $\frac{a}{b}$ se cumple que $\frac{a}{b}+\frac{0}{1}=\frac{a}{b}$ entonces $\frac{0}{1}$ es el neutro aditivo de los racionales y se le denota por $0$ .
Para cualquier número racional: $\frac{a}{b}$ se cumple que $\frac{a}{b}\times\frac{1}{1}=\frac{a}{b}$ entonces $\frac{1}{1}$ es el neutro multiplicativo de los racionales y se le denota por $1$ .
Cada número racional: $\frac{a}{b}$ tiene un inverso aditivo $\frac{-a}{b}$ tal que $\frac{a}{b}+\frac{-a}{b}=0$
Cada número racional: $\frac{a}{b}$ con excepción de $0$ tiene un inverso multiplicativo $\frac{b}{a}$ tal que $\frac{a}{b}\times\frac{b}{a}=1$