La escritura decimal de un número racional es, o bien un
número decimal finito, o bien
periódico. Esto es cierto no solo para números escritos en base 10 (
sistema decimal), también lo es en base
binaria,
hexadecimal o cualquier otra
base entera. Recíprocamente, todo número que admite una expansión finita o periódica (en cualquier base entera), es un número racional.
Un número real que no es racional, se llama
número irracional; la expresión decimal de los números irracionales, a diferencia de los racionales, es infinita
no-periódica.
Construcción Formal
El conjunto de los números racionales puede construirse a partir del conjunto de
fracciones cuyo numerador y cuyo denominador son números enteros. El conjunto de los números racionales no es directamente identificable con el conjunto de fracciones, porque a veces un número racional puede representarse por más de una fracción por ejemplo:
Para poder definir los números racionales debe definirse cuando dos fracciones diferentes son equivalentes y por tanto representan el mismo número racional. Formalmente cada número racional puede representarse como la
clase de equivalencia de un
par ordenado de enteros, con la siguiente
relación de equivalencia:
Para el conjunto de los números racionales puede escribirse:
Y si se tienen en cuenta la relación de equivalencia anterior de hecho se tiene:
Aritmética de los números racionales
Representación gráfica de las fracciones cuyo divisor es 4.
Definición de suma y multiplicación
Relaciones de equivalencia y orden
- Se define la equivalencia cuando
- Los racionales positivos son todos los tales que
- Los racionales negativos son todos los tales que
- El orden se define así: Si b>0 y d>0 entonces cuando
Existencia de neutros e inversos
- Para cualquier número racional: se cumple que entonces es el neutro aditivo de los racionales y se le denota por .
- Para cualquier número racional: se cumple que entonces es el neutro multiplicativo de los racionales y se le denota por .
- Cada número racional: tiene un inverso aditivo tal que
- Cada número racional: con excepción de tiene un inverso multiplicativo tal que
Equivalencias notables
- Todo número entero se puede escribir como fracción
- con y
- con
- con .